3 OSCURECIMIENTO DEL DISCO ESTELAR HACIA EL BORDE

 

3.1 Determinación empírica de intensidades en el disco solar

 

            El disco solar no se encuentra uniformemente iluminado. Las observaciones demuestran que existe  cierto grado de oscurecimiento del disco solar desde el centro hacia el borde del mismo. Esto ocurre también en otras estrellas, tal como revelan por ejemplo las curvas de luz de algunas binarias eclipsantes.

 

            Para obtener la curva de energía emitida por el Sol en diferentes regiones del espectro electromagnético suelen emplearse diversos instrumentos, de los cuales quizás el más utilizado es el espectrobolómetro. Este instrumento es una combinación de un bolómetro y un espectrógrafo. El bolómetro es un típico receptor integral que consta de un cable o conductor metálico ennegrecido, el cual va intercalado en una de las ramas de un puente de Wheatstone. Cuando llega radiación proveniente de una determinada región del Sol, aumenta la temperatura del conductor metálico ennegrecido y en consecuencia aumenta su resistencia eléctrica; el puente se desequilibra y circula una corriente medible con un galvanómetro. Si la cantidad de radiación que incide sobre el metal ennegrecido no es muy grande, la deflexión en el galvanómetro es proporcional a esa cantidad. El espectrógrafo se utiliza para dispersar la luz y poder pasear diferentes regiones espectrales sobre el metal ennegrecido. Las deflexiones obtenidas en diferentes bandas espectrales son corregidas por efectos tales como pérdidas por reflexión, transparencia del espectrógrafo, etc. y luego son calibradas en términos de energía recibida por unidad de área y tiempo.

 

 

            Al llevar a cabo las mediciones de intensidad del disco solar la corrección más importante a realizar es por el efecto de la extinción de la atmósfera terrestre. Para tener en cuenta este efecto, recordemos que la atenuación que sufre un rayo de intensidad I(l) al atravesar una capa atmosférica de espesor dh siguiendo una trayectoria elemental ds es :

 

 

                                               ,                                      (9.26)

 

 

en la cual  es la densidad del aire a la altura correspondiente de la superficie terrestre y  el coeficiente de absorción atmosférica correspondiente a esa longitud de onda. El signo menos tiene en cuenta el hecho de que el rayo es atenuado al atravesar la atmósfera terrestre. Por razones de comodidad haremos el siguiente cambio de variables (Figura 9-3) :

 

 

                                               ,                                                     (9.27)

 

 

 

en la cual Z es la distancia cenital a la cual se efectúa la observación. La (9.26) queda entonces :

 

                                              ,                                       (9.28)

 

 

e integrándola entre el límite superior de la atmósfera (h = h_max) y el nivel del suelo (h = 0), se tiene :

 

 

                                               ,                        (9.29)

 

 

 

en la cual  e  representan respectivamente la intensidad específica monocromática proveniente de la región del Sol a la distancia cenital Z afectada de extinción y la correspondiente intensidad solar fuera de la atmósfera. La integral del segundo miembro de (9.29) suele denotarse y representa la masa de aire a la distancia cenital Z = 0. En efecto, si se considera un volumen elemental cilíndrico de un centímetro cuadrado de base y altura dh, el producto  representa la masa de aire contenida en ese volumen y, en consecuencia,  es la masa de aire contenida en un cilindro de un centímetro cuadrado de base y altura igual al espesor h de la atmósfera terrestre. La (9.29) puede escribirse de la siguiente manera :

 

 

                                                                                   (9.30)

 

 

            Con frecuencia la (9.30) se expresa como :

 

 

                                  ,                        (9.31)

 

 

en la cual el producto  representa, a menos de una constante, el coeficiente de extinción de la atmósfera terrestre usualmente denotado . Este último depende entonces no sólo del coeficiente de absorción de la atmósfera terrestre sino también de la masa de aire en el cenit.

 

            Si en lugar de intensidades se usan los flujos solares monocromáticos  y , afectados por extinción y fuera de la atmósfera respectivamente, la  (9.30) se escribe :

 

 

                                                                                (9.32)

 

O bien :

                                                                (9.33)

 

 

            Para determinar empíricamente la curva de energia solar se diafragma una determinada región del disco solar y se efectúa una serie de mediciones de flujos  para diferentes distancias cenitales, graficándose luego el valor observado de  en función de la . Los puntos graficados se aproximan por una línea recta cuya ordenada al orígen es . De esta manera, para diferentes regiones espectrales se obtienen diferentes valores del flujo fuera de la atmósfera. Los valores medidos de  representan valores de la constante solar para el rango espectral considerado, ya que se trata de cantidad de energía en un cierto rango espectral, recibida del Sol por unidad de área y de tiempo. Si se tratara de toda la luz solar, dicha cantidad debería ser próxima a 2 calorías por minuto y por centímetro cuadrado, equivalente a la constante solar.

 

            Existen en general muchos métodos y variados instrumentos para medir la curva de energía solar. Lo que se mide básicamente es el cociente , en el cual el primer número dentro de cada paréntesis representa la profundidad óptica y el segundo el ángulo con que emerge el rayo respecto de la dirección del observador (Figura 9-4).

 

 

            Medir la intensidad  o el flujo en el borde del disco solar es imposible, por lo que normalmente se llevan a cabo mediciones hasta valores de q  tan próximos a 90º como sea posible. En la Figura 9-5 se ilustra esquemáticamente lo que evidencian las observaciones del disco solar. Las ordenadas representan intensidades medidas en una  escala arbitraria, en tanto que las absisas corresponden a ángulos en el cielo. Las curvas abarcan prácticamente todo el limbo solar (~30’). En la Figura 9-5 se han representado en forma esquemática dos típicas curvas correspondientes a dos longitudes de onda bien diferentes (90.000 Å y 6000 Å). El efecto es claramente más marcado para pequeñas longitudes de onda.   

            El efecto del oscurecimiento hacia el borde se aprecia muy bien en la Figura9-6, la cual reproduce en forma esquemática los resultados obtenidos por Pierce (1954). La ordenada en la figura representa el cociente entre la radiación medida en un ánguloq y proveniente del centro del disco solar. Cada curva corresponde a un ánguloq fijo. A medida que nos desplazamos hacia el borde del Sol, disminuyen las correspondientes ordenadas en la Figura 9-6, evidenciando el efecto de oscurecimiento. En el mismo gráfico se aprecia la variación del cociente con la longitud de onda.

 

            La Figura 9-7 ilustra los resultados de las observaciones de oscurecimiento hacia el borde solar obtenidos hace más de tres décadas por Pierce y Waddell (1961). En este diagrama se aprecia claramente que el efecto es mucho más pronunciado para longitudes de onda pequeñas. Nótese que paral= 4000 Å la curva correspondiente es prácticamente lineal.

 

3.2 Ley de oscurecimiento del disco estelar hacia el borde : aspecto cualitativo

 

            De acuerdo a la expresión (7.21), la intensidad específica monocromática que emerge de la superficie de una atmósfera semi-infinita en una determinada direcciónq será :

 

                                     

                                                                 (9.34)

 

           

            Si se acepta la hipótesis de ETL, la función fuente en el integrando puede reemplazarse por la función de Planck. Además, dado que

 

 

es la unidad, la expresión anterior puede escribirse como :

 

 

 

                                                                         (9.35)

 

 

 

            La intensidad específica monocromática emergente de una estrella puede entonces considerarse un promedio de la función de PlanckB_n(T),pesada por el factor exponencial e^-tsecq. La explicación cualitativa del fenómeno de oscurecimiento hacia el borde está implícita en la interpretación de la ecuación (9.35). En efecto, a medida que el ánguloq crece desde cero en el centro del disco solar hasta 90º en el borde, la secq aumenta rápidamente desde uno a infinito. Esto quiere decir que a medida que nos desplazamos desde el centro hacia borde del Sol, el producto tsecq se hace tan grande que el factor de extinción e^-tsecq  tiende a anularse. Cuando el ánguloq es grande, próximo ap/2, sólo emerge radiación de capas a profundidades ópticas muy pequeñas. Esto es así debido a que aún a profundidades ópticas considerablemente menores que la unidad, el factor de extinción e^-tsecq  es tan pequeño que la radiación proveniente de dichas profundidades prácticamente no emerge del Sol. Dado que la función B_n(T)aumenta con la temperatura y a su vez T se incrementa con la profundidad ópticat, la radiación proveniente del centro del disco solar llega a la superficie desde capas más profundas y por ende más calientes, que la radiación proveniente de regiones próximas al borde. En consecuencia, se verifica siempre la desigualdad I_n(0,0)>I_n(0,q).

 

 

3.3 Ley de oscurecimiento del disco estelar hacia el borde : aspecto cuantitativo

 

            Para explicar el fenómeno de oscurecimiento hacia el borde desde el punto de vista cuantitativo en la primera aproximación de Eddington, integremos en frecuencias la (9.34) y reemplacemos la función fuente S(t) por su equivalente de (9.15). Así resulta:

 

 

                            ,             (9.36)

 

 

Haciendo el cambio de variables :y = t secq,dy = secqdt, se obtiene :  

 

 

                       

                                                            (9.37)

 

 

            Las dos integrales de la expresión anterior son ambas iguales a la unidad – tal como se mostró al deducir la (7.24) – de manera que la (9.37) queda :

 

 

                                              ,                                     (9.38)

 

 

expresión ésta que justifica el fenómeno observado de oscurecimiento hacia el borde en el Sol y en otras estrellas. En el centro del Sol (q= 0^o) la intensidad específica integrada emergente I(0,0) es. Luego, la ley de oscurecimiento hacia el borde en esta aproximación puede escribirse como :

 

 

                                             

 

 

            O bien :

 

                                              ,                          (9.39)

en lacual

 

  . 

 

La (9.39) permite comparar la ley predicha teóricamente por la primera aproximación de Eddington para el oscurecimiento hacia el borde, con los valores observados para el Sol. Nótese que en (9.39) se considera la intensidad específica integrada. En la Tabla 9-1 se comparan los valores predichos en esta aproximación con los observados (tomados de Aller 1963). Nótese cómo la primera aproximación deEddington reproduce razonablemente bien las observaciones.

 

 

Tabla 9-1 : Oscurecimiento hacia el borde en el Sol

 

                                           1ª Aproximación          Observado

 

Cos q           I(0,q)/I(0,0)                   I(0,q)/I(0,0)

 

1.00                  1.000                           1.000

0.90                  0.940                           0.944

0.80                  0.880                           0.898

0.70                  0.820                           0.842

0.60                  0.760                           0.788

0.50                  0.700                           0.730

0.40                  0.640                           0.670

0.30                  0.580                           0.602

0.20                  0.520                           0.522

0.10                  0.460                           0.450

0.00                  0.400                               -                  

 

 

 

 

 

 

3.4 Variación del oscurecimiento hacia el borde con la longitud de onda

           

            ¿ Es posible justificar la variación observada del oscurecimiento hacia el borde con la longitud de onda ? Si en (9.34) se reemplaza la función fuente por la función de Planck expresada en términos de la longitud de onda y  T por la distribución hallada en (9.22), se obtiene la siguiente expresión :

 

 

                                             ,             (9.40)

 

 

la cual puede evaluarse por integración numérica para cada longitud de ondaly para cada ánguloq. Tales cálculos conducen a mostrar que el oscurecimiento del disco estelar hacia el borde aumenta efectivamente a medida que decrece la longitud de onda. En particular, los cálculos conducen a:

                                  y         ,

                                                               

 

lo que demuestra la aseveración anterior.

 

            La explicación física del efecto de variación del oscurecimiento hacia el borde con la longitud de onda está relacionada con la variación del coeficiente de absorciónk_ncon la frecuencian. En efecto, como veremos en el Capítulo 10, este coeficiente aumenta rápidamente a medida que disminuye la frecuencia n, de manera que en las longitudes de onda grandes la absorción (opacidad atmosférica) es consecuentemente tan grande que sólo recibimos radiación de las capas más externas de la atmósfera. Por el contrario, en las longitudes de onda más cortas la opacidad atmosférica es mucho menor, de manera que la radiación proviene de capas más interiores de la atmósfera, magnificándose el efecto observado de oscurecimiento hacia el borde.